Fluxos em 2D
Fase 1 — Capítulo 3 (Strogatz cap. 5–6)
Luiz Eduardo, laboratório de PDI, UNIFAL-MG, quarta-feira.
Luiz Eduardo abriu o exercício favorito da disciplina: aplicar três filtros sucessivos — sharpening, blur, sharpening — sobre a mesma foto de um pixel ruidoso. Cada filtro é simples. A composição é estranha: para certos parâmetros do blur, o pixel oscila entre escuro e claro, escuro e claro, indefinidamente. Para outros, estabiliza num valor médio.
Onde, em uma dimensão, a iteração de um filtro sempre converge ou diverge monotonamente, em duas dimensões — quando o estado é o par (intensidade, gradiente local) — abre-se um espaço novo. Trajetórias podem fechar. O pixel pode oscilar sem nunca se decidir.
Esse é o assunto da semana: o que muda quando o sistema sai da reta e ganha um plano para se mover.
Imagine um patinador no gelo. Ele só pode andar pra frente e pra trás (uma dimensão). Em algum momento ele para — não tem como ficar girando.
Agora dê a ele um plano (duas dimensões). Ele pode andar pra frente, pra trás, e pros lados. Pode começar a fazer círculos. Pode acelerar e desacelerar dentro do círculo. Pode escolher um círculo grande ou um pequeno.
A diferença entre uma e duas dimensões parece pequena, mas é o que separa um sistema que sempre encontra o equilíbrio de um sistema que pode ficar oscilando indefinidamente — coração batendo, predador-presa em ciclo, política em alternância eleitoral. É isso que vamos estudar.
A pergunta operacional
Saímos da reta. Em duas dimensões, \(\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{F}(\mathbf{x})\) com \(\mathbf{x}=(x,y)\), abre-se a possibilidade de trajetórias fechadas — oscilações sustentadas. A monotonicidade que protegia a Fase 1 evapora. O retrato de fase passa a ser um plano com setas: o problema é classificar, qualitativamente, o que acontece próximo aos pontos fixos e entre eles.
Jacobiana
Matriz J = ∂F_i/∂x_j avaliada em x*. Captura linearização local.
T-D plane
Traço T e determinante D de J classificam: sela, nó, foco, centro.
Nulóclinas
Curvas ẋ=0 e ẏ=0. Interseções = pontos fixos. Permitem esboçar sem integrar.
Conservativo × dissipativo
Conservativo: ∇·F = 0, áreas preservadas. Dissipativo: ∇·F < 0, atratores possíveis.
Linearização e jacobiana
Próximo a um ponto fixo \(\mathbf{x}^*\), a dinâmica é dominada pela matriz jacobiana
\[ J = \begin{pmatrix} \partial_x F_1 & \partial_y F_1 \\ \partial_x F_2 & \partial_y F_2 \end{pmatrix}\bigg|_{\mathbf{x}^*}. \]
A análise de estabilidade reduz-se ao espectro de \(J\): dois autovalores \(\lambda_1, \lambda_2\) classificam o ponto fixo via traço \(T = \lambda_1+\lambda_2\) e determinante \(D = \lambda_1\lambda_2\). Diagrama \(T\)-\(D\) canônico:
- \(D<0\): sela (autovalores reais de sinais opostos; instável).
- \(D>0\), \(T<0\): estável; nó se \(T^2 > 4D\), foco se \(T^2 < 4D\).
- \(D>0\), \(T>0\): instável; nó ou foco conforme idem.
- \(T=0\), \(D>0\): centro (caso conservativo, persiste só sob estrutura especial).
Nulóclinas
Curvas \(\dot{x}=0\) e \(\dot{y}=0\). Suas interseções são os pontos fixos; entre elas, o sinal das componentes do campo vetor é constante, o que permite esboçar o retrato à mão sem integrar. Nulóclinas são o instrumento canônico de modelos ecológicos (Lotka-Volterra) e farmacológicos.
Sistemas conservativos vs. dissipativos
Um sistema é conservativo quando existe função \(H(\mathbf{x})\) constante ao longo das trajetórias (\(\dot{H}=0\)). Centros aparecem genericamente em conservativos. Sistemas dissipativos (\(\nabla\cdot\mathbf{F} < 0\) em média) têm contração de áreas no espaço de fase — atratores aparecem genericamente. A distinção é cibernética: sistema conservativo não tem regulador embutido (variedade não é absorvida); dissipativo absorve.
Conexão com Ashby/Beer
Em VSM, S2 (antioscilação) é a função que aparece exatamente quando o espaço de estados ganha dimensão suficiente para oscilar. A passagem de F1-01 para F1-03 espelha a passagem de S1 isolado para S1 acoplado: cada operação isolada é monótona; o conjunto delas, sem S2, oscila.
Voz dos personagens
Pergunta de verificação
Para o sistema \(\dot{x} = -x + y\), \(\dot{y} = x - y - y^3\): localize pontos fixos, calcule a jacobiana em cada um, classifique, esboce nulóclinas e retrato de fase. Em linguagem cibernética: o sistema é conservativo ou dissipativo? Que função VSM ele exemplifica?
Para Joana: modele em 2D a dinâmica conjunta de engajamento (acessos à plataforma) e desempenho (nota corrente) de coorte UAB-UNITINS. As nulóclinas correspondem a quais políticas de monitoria?
Próxima parada
Semana 4 — Ciclos-limiteEm 2D, oscilações sustentadas só persistem como atratores isolados. Poincaré-Bendixson, Van der Pol, ciclos institucionais.
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