Tempo contínuo
Fase 2 — Capítulo 4 (Norris caps. 2–3)
A pergunta operacional
Em tempo discreto, transições ocorrem a passos inteiros. Em tempo contínuo, ocorrem em instantes aleatórios — o estado salta a um ritmo governado por taxas. A pergunta operacional muda de “qual a próxima transição?” para “quando e para onde a próxima transição?”.
Matriz geradora \(Q\)
Para cadeia em tempo contínuo, \(Q_{ij}\) (\(i \neq j\)) é a taxa de transição \(i \to j\), e \(Q_{ii} = -\sum_{j \neq i} Q_{ij}\). As probabilidades de transição em tempo \(t\) são
\[ P(t) = e^{Qt}. \]
Equação de Kolmogorov forward: \(\frac{dP(t)}{dt} = P(t)\,Q\).
Tempo de espera
Em cada estado \(i\), o tempo até o próximo salto é exponencial com parâmetro \(|Q_{ii}|\). Memorylessness: a propriedade markoviana em tempo contínuo decorre da memorylessness exponencial.
Processos de nascimento-morte
Casos canônicos: filas M/M/1, processos populacionais, modelos químicos. Forma geral \(Q\): tridiagonal com taxas \(\lambda_n\) (nascimento) e \(\mu_n\) (morte). Distribuição estacionária via balanço detalhado: \(\pi_n = \pi_0 \prod_{k=1}^n \lambda_{k-1}/\mu_k\).
Conexão com filtros gaussianos
A cadeia mais simples em tempo contínuo é o movimento browniano (limite de cadeia de passeio aleatório com passos pequenos), cuja densidade evolui pela equação do calor \(\partial_t u = \nabla^2 u\). Convolução com gaussiana de variância \(\sigma^2\) é equivalente a integrar a equação do calor até \(t = \sigma^2/2\) — exatamente o filtro suavizador de Silva; Silveira (2026) (cap. 3 do livro PDI; vide carta-luiz-eduardo).
Conexão com Ashby/Beer
Tempo contínuo é a forma natural para sistemas onde transições não estão sincronizadas — o que é regra, não exceção, em sistemas institucionais. A tese de Alves (2022) modela o balanço hídrico da BHRF em tempo contínuo, com taxas dependentes de regime de chuvas e política de outorgas. Generaliza para qualquer fluxo institucional contínuo.
Pergunta de verificação
Para fila M/M/1 com \(\lambda < \mu\): encontre \(\pi_n\) analiticamente. Calcule tempo médio no sistema e tamanho médio da fila. Em linguagem cibernética: o que é S3 em uma fila? E \(H(R)\)?
Para Joana: a difusão do conhecimento em sala virtual UAB-UNITINS é processo markoviano em tempo contínuo. Estime \(|Q_{ii}|\) por participante a partir de logs de fórum.