Cadeias finitas
Fase 2 — Capítulo 1 (Häggström caps. 1–4)
A pergunta operacional
Saímos do mundo determinístico. Em uma cadeia de Markov finita, o estado seguinte é amostrado de uma distribuição que depende apenas do estado atual (propriedade markoviana). A pergunta operacional: dado o conjunto finito de estados \(S = \{1,\ldots,N\}\) e a matriz de transição \(P\), o que se pode dizer sobre o comportamento de longo prazo da sequência \((X_n)_{n\geq 0}\)?
Matriz de transição
\(P_{ij} = \mathbb{P}(X_{n+1}=j \mid X_n=i)\). Linhas não-negativas que somam 1 (matriz estocástica). Probabilidade \(n\)-passos: \((P^n)_{ij}\). Distribuição em tempo \(n\): \(\mu_n = \mu_0 P^n\) (vetor-linha).
Classes de comunicação
\(i \to j\) se existe \(n\) com \((P^n)_{ij}>0\); \(i \leftrightarrow j\) se ambos os sentidos. A relação \(\leftrightarrow\) é de equivalência; particiona os estados em classes de comunicação. Uma cadeia é irredutível se há uma única classe — todos os estados se alcançam mutuamente.
Recorrência, transitoriedade, periodicidade
- Recorrente: o estado é visitado infinitamente often com probabilidade 1.
- Transiente: visitado finitamente often.
- Período \(d(i)\): \(\gcd\{n \geq 1 : (P^n)_{ii} > 0\}\). Cadeia aperiódica se \(d(i)=1\) para algum (e portanto todo, em irredutível) estado.
Em cadeia finita irredutível, todos os estados são recorrentes (não há “fuga ao infinito” em conjunto finito).
Conexão com Ashby/Beer
A matriz \(P\) é a forma probabilística da caixa preta de Ashby (1956): dado o estado atual, a distribuição de próximas transições é a “função de transferência” do sistema. Se classe de comunicação \(\neq\) todo o conjunto, há regiões do espaço de estados inacessíveis a partir de outras — o sistema viola conectividade, sintoma típico de S2 ausente em VSM. A irredutibilidade é, em linguagem institucional, a conectividade da rede de comunicação.
Pergunta de verificação
Considere a cadeia com estados \(\{\)matriculado, trancado, jubilado\(\}\) e matriz
\[ P = \begin{pmatrix} 0.85 & 0.10 & 0.05 \\ 0.30 & 0.65 & 0.05 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]
Identifique classes de comunicação, recorrência/transitoriedade de cada estado, periodicidade. É irredutível? Em linguagem cibernética: que função VSM falha quando “jubilado” é estado absorvente?
Para Joana: estime a matriz \(P\) para coorte UAB-UNITINS com dados anuais de matrícula 2015–2024. Compare com hipotética coorte UNIFAL-MG presencial. Qual diferença estrutural emerge?