Distribuições estacionárias
Fase 2 — Capítulo 2 (Häggström caps. 5–6)
A pergunta operacional
Dada uma cadeia \((P, S)\), existe distribuição \(\pi\) sobre \(S\) que é invariante sob \(P\)? Se sim, é única? E a distribuição inicial \(\mu_0\) converge a \(\pi\) em \(n \to \infty\)? Estas três perguntas — existência, unicidade, convergência — definem o programa do capítulo. Resposta de Häggström (2002): para cadeias finitas irredutíveis e aperiódicas, sim, sim e sim.
Distribuição estacionária
\(\pi\) é estacionária se \(\pi P = \pi\) e \(\sum_i \pi_i = 1\). Em palavras: aplicar mais uma transição não muda a distribuição. Computacionalmente, \(\pi\) é o autovetor à esquerda de \(P\) com autovalor 1, normalizado.
Teorema de convergência
Teorema (Häggström (2002) cap. 5). Se \(P\) é irredutível e aperiódica em conjunto finito, então existe única \(\pi\) estacionária e, para qualquer \(\mu_0\), \(\mu_n \to \pi\) em variação total à medida que \(n \to \infty\). A convergência é geométrica: \(\|\mu_n - \pi\|_{\text{TV}} \leq C \rho^n\) para algum \(\rho < 1\).
Tempo de mistura
\[ t_{\text{mix}}(\varepsilon) := \min\{n \geq 0 : \max_i \|P^n(i,\cdot) - \pi\|_{\text{TV}} \leq \varepsilon\}. \]
É a métrica operacional do “quanto tempo o sistema leva para esquecer a condição inicial”. Em VSM, \(t_{\text{mix}}\) é o tempo característico de S2 — a função antioscilatória só pode operar em escala \(\geq t_{\text{mix}}\).
Conexão com Ashby/Beer
A distribuição estacionária \(\pi\) é, em linguagem ashbyana, a distribuição operacional do regulador: o conjunto de respostas que o sistema fornece quando deixado em equilíbrio. Alves (2025) propõe que a engenharia da variedade busca, no longo prazo, \(\pi\) alvo — não estado-objetivo único, mas distribuição que cobre a variedade dos distúrbios. \(\pi\) é meta de design, não \(x^*\).
Pergunta de verificação
Para \(P = \begin{pmatrix} 0.7 & 0.3 \\ 0.4 & 0.6 \end{pmatrix}\): encontre \(\pi\) analiticamente. Estime \(t_{\text{mix}}(0.01)\) por simulação. Em linguagem cibernética: \(\pi\) é configuração desejável ou apenas equilíbrio efetivo?
Para Joana: a política de cotas UNITINS deveria, no longo prazo, levar a \(\pi\) específica de alunado por origem socioeconômica. O desvio entre \(\pi\) teórico (objetivo) e estimador empírico (histórico) é diagnóstico de quê?